本文标题所说的大学数学主要是指在18、19世纪和20世纪初发展起来的近代数学。近代数学的发展成果基本上浓缩在了目前在大学数学系所开设的十一门基础性的数学课程中，这些课程是：数学分析、高等代数（或线性代数）、常微分方程、复变函数论、微分几何、偏微分方程、概率论、实变函数论、抽象代数、拓扑学、泛函分析。所有这些课程的主要经典内容都经过了近百年来的反复提炼与改进，已经逐渐成型，各门课程所使用的教材也越写越成熟。不过，有一个长久以来存在的问题是：大学数学的教学过程基本上还都是按照严格的学科体系和逻辑推理来进行实施的，对大多数学生来说，许多内容显得比较抽象和难懂，特别是常规的大学数学的“定义-定理-证明-推论-例题”五步曲格式容易使学生感到困惑，不明白这些复杂的概念和理论的真正含义是什么，它们到底要解决什么问题？和别的自然科学与社会科学学科完全不同，大学数学的主要研究对象是抽象的模式和理论，而不是自然界的物质和人类社会中的现象，因此让没有多少学习阅历的数学专业的学生来正确地理解和把握近代数学的本质是比较困难的。数学家J. L. Casti 曾说：“在数学中，要讲述真理是极其困难的，数学理论的形式化的陈述并没有讲清全部的真理。”在已经成熟的数学理论中很少看到理论形成的过程，“我们的数学家习惯于系统地擦去我们走过的足迹。科学家们总是不理解地看待数学家的这种怪异的习惯，而这种习惯自毕达哥拉斯以来直至今天几乎没有改变。”★“数学有一个本性的趋向——利用抽象和一般化——由此而将广泛领域中的素材加以综合与提炼，形成简单而又统一的概念与方法，去处理各种各样复杂的情况。这个过程有时被称为‘压缩’，有意思的是，这种很有效的知识形成过程却对进行教学的数学家来说是一个障碍，他在这时必须担当起‘解开压缩’的角色，这样才能让那些自主研究学习能力不强的学生来逐渐理解数学。”
”
Bass所说的“解开压缩”的教学方法实际上就是按照数学原来的发展顺序，将数学思想逐步演进的历史过程与数学严格的逻辑推理过程有机地结合起来，补上在数学的发展过程中被舍弃的中间过程（即适当地重新呈献早先的数学家曾经“走过的足迹”），使学生能够了解现代精练抽象的数学理论是怎么来的，从而能够理解大学数学概念与定理背后的真正内涵。这种被称为“历史途径法” 的教学方法不是简单地在传统的只讲逻辑推理的课程体系中堆砌一些数学史料和数学家的生平故事来调节数学的枯燥叙述，而是尽量在历史的框架中来讲授数学课程的内容，从而更容易抓住大学数学的本质思想和内容。数学教育的研究已经证实：数学历史的发展过程与学习者个人认识理解数学的心理程序有极明显的相似之处，因此历史途径法对于大学数学的教学有极大的帮助作用。为大多数学生考虑，历史途径法一般不是从现代的十分精练的数学定义出发，来展开各种定理和公式及其证明的教学，而是用历史上曾经出现过的原始数学问题来引入教学的主题，采用具体简单的素材作铺垫，从中逐步引导出抽象的数学概念与命题，并且运用前人具有启发性的有趣朴素想法来解决一些相对简单的问题，这样可以揭示出抽象的数学概念与方法的实际内涵，从而使初学者不至于在过多的严格复杂的逻辑推理中迷失方向。由于我们已经了解了数学后来的发展过程，所以可以选取对以后的发展来说是至关重要的思想和方法，也就是用历史发展线索在大量复杂的数学知识体系中找出基本的概念与方法，并且将具体的历史演进过程与学科严密的逻辑推理体系巧妙地结合起来，由浅入深地合理编排有关教学内容。从国外已经出版的许多用历史途径法来写的大学数学教材与参考科普读物的反映看，历史途径法非常有利于学生学习抽象的大学数学，它可以揭开大学数学的神秘面纱，降低学习的难度，从而使学生产生继续学习和研究现代数学的兴趣（例如可以参阅笔者的微信文章“数学文化在日本”）。由前苏联一批杰出的数学家在上世纪50年代编写的《数学：它的内容、方法和意义》（以下简称《数学》）是一部帮助数学系的大学生学习数学的综合普及类读物，其三卷的中译本的总篇幅达到了一千多页。它不同于一般的大学数学教材的地方是：尽量运用历史途径法和通俗浅显的语言，来深入浅出地解释各门大学数学课程中一些最基本概念和理论的含义，而不是面面俱到，并且适当地降低数学理论表达上的严格性和一般性。《数学》总共包含有二十章，涵盖了上面所说的数学系开设的十一门课程中最基本的初步内容。虽然《数学》不是一本严格意义上的教科书，但是它在介绍大学数学的主要课程内容时，按照数学历史发展的主要线索，力求通俗地介绍大学数学各主要课程所要解决的问题和一些有代表性的概念和理论。为此《数学》尽量减少使用高深的专业术语，并且选取对解决课程的教学难点有帮助的历史素材和至关重要的思想方法，努力还原被擦去的“走过的足迹”。由于《数学》充分地利用了历史途径法来深入浅出地解释大学数学各门课程中一些最基本概念和理论的内涵，所以它对目前有比较严密的理论体系的各门大学数学课程和教科书来说，是一个极好的补充。笔者特别建议数学系的同学们在学习各门大学数学课程前，先用心地读一遍《数学》中的相关章节。下面主要就针对大学数学系的十一门课程，分别对《数学》所介绍的内容、以及它们与这些数学课程的历史发展之间的紧密联系作一些简要的分析与说明。目前国内数学分析课程的内容一般由极限论、一元微积分、级数论和多元微积分这四大部分所组成，其中一元微积分对应了通常国外所说的“初等微积分”课程，而极限论、级数论和多元微积分这三部分则对应了国外所说的“高等微积分”课程。
极限理论的主要内容有：数列的极限、函数的极限、连续函数、关于实数的基本定理、以及闭区间上连续函数的性质。之所以要在讲微积分前系统地讲清楚极限的理论，主要是想为整个数学分析课程打好一个坚实的数学理论推理的基础。但是这个教学体系的主要缺点是：当学生对微积分还没有一个初步的了解时，就直接让学生学习严格的极限理论，容易造成一定的学习困难。在历史上，在微积分理论发展了将近两百年后，才慢慢出现了严格的极限理论。极限理论的主要目的是为了解决求微分或导数、求积分、以及判别级数的收敛性时出现的各种困难问题。例如，是不是连续函数都可微？是不是可微函数都连续？若一个函数在每一点可微，那么它的导函数是否连续？反过来，连续函数可微吗？历史上还曾经出现过令人震惊的连续但不可微函数的例子。为此必须仔细地考察导数的定义及其基本性质，以及研究函数的连续性，而不是仅仅依赖连续的直观形象。在此之前就必然要引入函数极限的严格定义，从而自然导致出现了函数极限的定义。这个定义把注意力集中在如何精确地表达“要多小就有多小”的问题上，从而可以彻底解决所有有关收敛性的困惑。这些令人困惑的收敛性问题还包括了“连续函数的一个收敛级数的和是否一定连续”的经典问题，它的彻底解决依靠了一个从定义发展出来的一致收敛定义。很明显，只有对初等微积分已经有了初步的了解，才能比较好地理解严格的极限理论。在《数学》的第二章“数学分析”中，作者详细介绍了初等微积分理论中各个主要内容，它们包括数列与函数的直观极限定义、一元连续函数与导数、一元函数的极值与图形、泰勒公式、定积分与不定积分、多元函数与偏导数、重积分、线积分与面积分、级数论等基本内容。《数学》的作者从历史发展的角度出发，能够深入浅出地解释微积分基础理论中最基本的思想。例如在“极限”这一节中，作者虽然没有明确地使用精确的定义来证明有关数列的极限，但是却用了具体的数值例子来说明这个极限定义的内在含义。又如在讲牛顿-莱布尼茨公式时，该书尽管没有证明这个基本公式，却用非常简单的物理学推理来说明这个公式的合理性与正确性。还有在“级数”这一节中，作者不仅介绍了数项级数收敛和绝对收敛的概念，而且还讨论了函数项级数的一致收敛的基本概念（该书将一致收敛译成了“均匀收敛”）。这使我们看到，不借助于严格的语言，同样可以展开关于具有一致收敛性的函数项级数性质的讨论。特别是在“级数”这一节的后半部分，作者仔细解释了幂级数理论的基本思想，其方法是先举例说明幂级数是有收敛区间的，然后在一个特定区间上具体地考察函数 与它的幂级数展开式到底相差多少（即用了前8项就可以达到0.01的精确度），从而让学生体会幂级数收敛的含义。接下来为了说明幂级数的用处，作者先用幂级数的方法来解一个最简单的微分方程，这个方程的级数解当然就是指数函数，然后说明用幂级数来解一般的微分方程，所得到的解并不一定就是学生们熟悉的初等函数，作者举了贝塞尔函数的例子（它是贝塞尔微分方程的解），从而很好地解释了函数项级数的一个主要用途是求解微分方程，以及它对于产生更多的新函数所起的关键作用。“要学好微积分和线性代数，归根结底一切高级的数学都是微积分和线性代数的各种变化。”（转引自林群先生的微信文章“怎样学好数学”）
丘先生的这句话很好地说明了线性代数这门课程在大学数学课程体系中的基础地位。在大学数学中，“线性”两字的含义是指一次关系式。由于“以直代曲”是人们处理很多数学问题的常用思路，所以经常将复杂的数学问题归结为比较简单的线性问题，这样，线性代数的理论与方法就渗透到现代数学的许多分支学科。线性代数的内容大致可以分为两大部分：第一部分包括了矩阵论、行列式、线性方程组等内容，第二部分则主要包括了线性空间、线性变换、欧氏空间等内容。线性代数教学的一个主要误区是人们往往只注重演绎证明，而不太重视介绍线性代数的思想来源和丰富的应用，特别是忽视对低维（或低阶）情形的讨论。在线性代数的历史发展进程中，二次型及其矩阵的特征值起到了突出的作用，这是因为它直接引导出后续的“对角化”这一线性代数的中心主题。早在18世纪之前，数学家们就已经解决了二次曲线的化简问题，也就是通过旋转坐标轴，可以将二次曲线方程中的二次型化成只有平方项的标准形，再经过坐标轴的平移，就得到了二次曲线的标准方程。在18世纪，欧拉和拉格朗日在研究化简二次曲面的方程时，得到了3个变量二次型的主轴定理，而到了19世纪初期，数学家柯西进一步证明了 个变量二次型的主轴定理。主轴定理用矩阵的语言来说就是：实对称矩阵一定和一个对角矩阵相似，并且这个对角矩阵的所有对角元素都是该实对称矩阵的特征值。这个一般二次型化简问题的彻底解决逐渐引发了后续关于矩阵对角化问题的一系列研究。今天的矩阵特征值概念是数学家凯莱在19世纪中期创建矩阵论的过程中正式提出的，而线性变换的特征值的概念则一直要等到20世纪初，人们在研究积分方程的求解问题以及相关的泛函分析问题时，才逐渐产生线性变换的特征值的概念，这个概念是矩阵特征值概念的深刻推广。例如在积分方程的研究中，需要计算如下线性变换：的特征值，其所对应的特征向量可以用来构造相关的积分方程的解，这里的是函数空间上的一个线性变换。此时出于研究函数空间的需要，数学家们以高维欧氏空间 以及其上的线性变换为蓝本，提出了一般的线性空间和线性变换的理论，并且把空间中的主轴定理推广到了一般的欧氏空间（也称为“内积空间”）。
《数学》第三卷的第十六章详细介绍了线性代数这门课程的基本思想。在今天看来，非常基本的线性代数课程要放在第三卷才介绍，是有些奇怪的。这说明在写作《数学》的上世纪50年代，苏联的大学数学系学生要在大学的高年级才开始学习线性代数这门课程。而上世纪的50年代正是由近代数学转换到现代数学的年代，现代数学区别于近代数学的一个重要标志是：现代数学主要研究高维空间（或高维流形），而近代数学则主要研究三维空间。线性代数这门课程的性质就决定了它是研究高维几何空间的必备工具。在线性代数这一章的第一节，作者介绍了矩阵运算的基本性质，特别是用连续进行两次线性替换的例子来引入矩阵的乘法运算。第二节是讲线性空间和欧氏空间的定义，以及它们的基本几何性质，作者特别注重对于线性相关和线性无关理论的阐述，这是线性空间理论的核心部分。作者将一组向量线性相关定义为其中的一个向量是其余向量的线性组合（这比较容易理解），并且从几何的角度将个向量线性相关归纳为它们落在一个维数小于的一个子空间中。第三节介绍线性方程组和行列式的计算，以及它们的主要性质。作者在这里将行列式与线性方程组结合起来讲，就能够讲清楚行列式理论的来龙去脉。对于线性方程组的一般理论，也是从直观的几何角度来解释解空间的几何构造。第四节讲解了线性变换理论的基本思想，其中包括了矩阵对角化的一般结果——若尔当标准形。作者在第五节重点讲了二次型的经典理论。首先是详细解释了一个二元函数的极值问题是怎样归结为一个二次型问题的，然后和我们通常的教材一样，讲如何用配方法来化简一般的二次型，以及二次型的惯性定律。接下来，作者用了一个比较初等的推理过程，详细证明了一般二次型的主轴定理，即可以运用正交线性替换来化简二次型，其中显示了特征值与特征向量的基本作用。在这里，作者大致就是按照历史发展的途径来讲的（用二次型的化简问题来引出和联系线性代数中主要的学习内容，也成为了笔者在2019年新编写的教材《高等代数与解析几何》（上、下册）中的指导思想）。作者在第六节还进一步介绍了在应用中特别有用的矩阵函数，特别是矩阵的指数函数在解线性常微分方程组中的应用。常微分方程是含有自变量、未知函数及它的导数的等式。常微分方程这门课程的主要内容有：一阶常微分方程的初等解法、一阶常微分方程的解的存在定理、高阶常微分方程、线性微分方程组、非线性微分方程组和稳定性。这门课程需要用到数学分析和线性代数中的一些基本知识。在历史上，很多涉及运动与演化的物理问题和技术问题的研究都可以化归为常微分方程的求解问题，这是因为反映自然规律的量与量之间函数关系往往不能直接写出来，而此时却比较容易建立这些变量与它们的导数之间的关系式。一般来说，绝大多数的微分方程都是比较难求解的，因此对于学生来说，重要的是：通过这门课程的学习，来掌握处理微分方程问题最基本的思想方法，而不是着眼于求解具体某一类的微分方程。《数学》的第二卷第五章专门讲常微分方程。这一章的目的是使学生对这门课程先有一个整体的了解，并力求说明常微分方程理论所要解决的主要问题是什么。作者以一个简单的齐次线性常系数微分方程为例，非常仔细地说明了如何将这个微分方程转化为一个一元二次方程，从而可以求出它的精确解，并且对所求出的通解，还要考察其唯一性和稳定性，以及从物理学（振动）的角度，来看它与相关的非齐次微分方程解的联系。接下来，作者进一步介绍了一般常微分方程的解的存在性和唯一性定理，特别是在求不出精确解的情况下，经常需要运用经典的欧拉折线法和逐次逼近法来求出常微分方程的近似解。此外，《数学》的作者还用了相当多的篇幅，重点介绍了常微分方程的奇点概念和定性理论的基本思想，这个定性理论在常微分方程的一般理论中占有重要的地位。微积分理论所处理的函数主要是实函数，当我们将微分与积分的理论平行推广到复函数时，就形成了一门崭新的理论——复变函数论，这个新理论与原来的微积分相比，内容不仅更加丰富多彩，而且理论上也更加完美。复变函数论这门课程的内容主要有：解析函数、复积分、复级数、留数、解析开拓、调和函数。复变函数论曾经被数学史家M.克莱因(M.Kline)称为是19世纪最独特的创造，“这一最丰饶的数学分支，曾被称为这个世纪的数学享受，它也曾被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一。”在19世纪初，柯西在研究计算二重积分的累次积分方法时，无意中发现了复变函数论中著名的柯西积分定理——全纯(解析)函数在单连通区域边界上的复积分为零，由此进一步得到了关于复积分和留数计算等一系列基本结果。《数学》的第二卷第九章专门介绍了复变函数论这门课程的基本想法。作者在这一章的第1节指出，复数的重要意义首先体现在代数学基本定理中，这个定理说：任何次复系数代数方程必有个根，而这个结论对实系数方程就不成立。这说明只有在复数域中考虑问题，才能得到清晰完美的结果。然后作者进一步从复变函数的角度解释了在数学分析课中讲的：实函数 的幂级数展开式的收敛区间为什么是，这是因为当我们把这个幂级数放到复数域上来考虑时，就发现这个复幂级数的收敛半径等于1，即使得该级数收敛的点都位于以原点为心、半径为1的圆内。而导致这个事实的原因竟然是这个圆的圆周上有两个点 和 ，复函数 在这两点变为无穷（见图4），图4 《数学》从复变函数角度解释实函数的幂级数展开式的收敛区间为什么是
这就从本质上解释清楚了为什么原来的实幂级数展开式的收敛区间为什么是。接下来作者还用复变函数的幂级数展开式推导出了非常有名的欧拉公式：作者所举的以上这些很好的例子能够使学生初步认识到：复变函数并不是一种虚无缥缈的东西，而是有着实际意义的真实概念。《数学》的作者在第九章的第2节，介绍了复变函数论在流体力学和飞机机翼设计中的精彩应用，在第3节介绍了很重要的复变函数与几何共形映射之间的密切联系。作者在第4节中，带领读者进入了复变函数理论的核心部分——复积分与柯西积分公式。虽然复积分是数学分析中线积分定义的简单推广，然而它却成为了证明解析函数良好性质的主要工具。尽管作者没有在该书中详细地证明最基本的柯西积分定理，但还是非常仔细地推导了在复变函数论中反复使用的柯西积分公式，这个推导过程充分显示了复积分的基本性质。最后，作者在第5节进一步介绍了解析开拓和黎曼面的基本概念。微分几何的主要研究对象是三维空间中的光滑曲线和光滑曲面，它们的现代名称叫一维和二维的微分流形。为了刻画曲线和曲面的几何形状和弯曲程度，数学家们引入了曲率的概念。微分几何这门课程的主要内容有：三维空间的曲线论、三维空间中曲面的局部几何性质、三维空间中曲面的整体几何性质。在历史上，数学家先运用了二阶导数求出了平面曲线的曲率，然后在18世纪，欧拉用平面与曲面相交的方法定义了曲面的法曲率，他发现使法曲率取极大值与极小值的两个方向互相垂直，并且推导出了计算法曲率的欧拉公式：这里的和是法曲率的两个极值，是 角方向上的法曲率。接下来，19世纪初的高斯改进了欧拉的曲面法曲率的定义，从而得到了他的高斯曲率定义，并且运用高斯曲率，系统地研究了曲面的基本性质，证明了“高斯曲率仅与曲面的度量有关”这个十分重要的内蕴几何命题，这个命题为后来的黎曼创立他的黎曼几何奠定了坚实的基础。在现在的大学微分几何课本中，计算法曲率的欧拉公式一般是运用魏因加滕(Weingarten)变换来证明的，这是一个作用在切平面上的线性变换，它也是一个对称变换，因此可以运用线性代数中关于欧氏空间上对称变换的结论来证明这个欧拉公式。这个证明虽然十分简洁，但是其几何意义是不太清楚的，学生真正理解起来有一定的困难。《数学》的第二卷第七章专门讲解了微分几何这门课程的基本想法。首先作者详细解释了平面曲线的曲率概念，并且推导出了曲率计算公式，特别是给出了曲率的一个直观的几何解释：曲率是曲线离开切线的速度。然后作者在讨论光滑曲面的弯曲时，就按照欧拉的方法，用通过曲面法线的平面与曲面相交，从而得到一族法截线。这些法截线都是平面曲线，因此就可以运用它们的曲率来刻画曲面的弯曲程度。接下来，作者用了18世纪的数学家们所熟悉的简单直观的方法，来证明上述计算法曲率的欧拉公式，这个证明方法仅仅用到了平面直角坐标系的旋转公式和二元函数的泰勒展开公式，以及前面由作者给出的平面曲线曲率的几何解释：这个简单而又杰出的证明，可以让学生对光滑曲面的局部构造有一个十分清晰的理解。《数学》的作者在详细讲解曲面的局部几何性质的同时，还运用了大量的精美几何图形来直观地显示曲面的弯曲变形、测地线等各种几何性质，这种情形在目前的大学几何书里已经非常少见了（这应该归因于现在绝大多数写大学数学书的作者还不能熟练地掌握电脑作图软件，而在过去则是由专人负责绘图的）。偏微分方程理论在物理学和现代科学技术中有十分重要的应用，同时它也是现代数学中一个很重要的基础分支学科。在大学数学系的各门课程中，偏微分方程属于是比较难的课程，它可以简单地看成是常微分方程理论的进一步深化与拓广。数学分析课程中几乎所有的内容其实主要就是在为偏微分方程作准备的（当然也为其他一些课程作准备），例如数学分析级数论中的函数项级数的一致收敛理论，就反复地被用到了偏微分方程的课程中，特别是看上去比较奇怪的用三角函数级数来表示任意函数的傅里叶级数的理论，基本上就是为偏微分方程课程量身定做的，还有多元微积分中比较复杂的联系曲线与曲面积分的高斯公式（即散度定理），更是成为了研究偏微分方程中的调和方程解的性质的有力工具。偏微分方程（有时也称为“数学物理方程”）这门课程包含了非常丰富的内容。从18世纪中叶法国数学家达朗贝尔开始研究波动方程的求解问题到现在，已经过去了两百多年，在此期间，像欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西这样的大数学家都对偏微分方程理论作出了重要的贡献。偏微分方程理论最基本的问题也和常微分方程一样，就是要研究偏微分方程的求解方法和解的性质。这门课程通常包含了波动方程、热传导方程、调和方程、一般的二阶线性偏微分方程、一阶偏微分方程组等基本内容。《数学》第二卷的第六章专门讲偏微分方程。作者首先详细介绍了一些最简单的偏微分方程的形成过程，以及它们所具有的丰富的物理意义，然后运用经典的分离变量法，来重点给出了双曲型偏微分方程的详细求解过程（其中的是三元函数，是拉普拉斯算子），这个经典方法的实质就是将偏微分方程转化为常微分方程来求解，并且其中又用到了傅里叶级数的基本思想。作者还用这个分离变量法进一步求解了调和方程。接下来，作者又简要介绍了求解调和方程的经典的位势法。对于大多数偏微分方程来说，由于无法得到它们的精确解，所以就需要运用近似算法来求出偏微分方程的近似解，作者以调和方程为例，详细介绍了最常用的差分法。在这一章的最后一节，作者深入浅出地详细讲解了偏微分方程广义解的基本思想，这对于想初步了解现代偏微分方程理论的学生来说，是很有教益的。尽管概率论的思想起源很早，但是只有到了20世纪，概率论才真正成为了一门严格系统的数学理论。特别是在20世纪中叶，人们开始发现了概率论在自然科学和社会科学中具有大量的应用，于是在上世纪50年代，大学数学系开始开设了概率论这门新的数学课程。由于《数学》这套书是在上世纪50年代写的，所以它对概率论的介绍还只限于很初步的水平，有些基本内容没有介绍。目前大学概率论课程的主要内容有：随机事件和古典概型、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理。在概率论的教学中，比较难的内容是随机变量的引入、以及统计量分布函数的推导。微积分正是通过连续随机变量这一重要途径而进入了统计学领域，从而在根本上改变了早期概率论只讨论古典概型的状况。因此，应该较早地渗透分布函数的思想，以及要用数理统计的实际应用来引入概率论中各个基本概念，这是因为在历史上，概率论的各个基本概念主要都是因为数理统计的需要而自然产生的。《数学》的第二卷第十一章专门介绍了概率论这门课程中的一些基本想法。作者首先介绍了初等概率论的公理和概率的基本计算公式，然后重点解释了大数定律和中心极限定理的基本含义。接下来，作者概要介绍了随机过程概念的基本思想。在数学分析中研究的函数基本上都是性质比较好的函数，例如可微或者连续，最差的函数是只有有限个间断点。作为数学分析的进一步深入和发展，实变函数论主要研究在连续性、可微性和可积性方面比较差的函数。实变函数论的重点是勒贝格积分理论。我们知道，数学分析中的黎曼积分适用于基本上连续的函数，而从实变函数论的角度看，有界函数 在上黎曼可积的充要条件是在上的间断点集合的勒贝格测度为零。为了扩大可积函数类，改善积分的性质，就需要引入勒贝格积分，这种积分具有比黎曼积分更优良的性质，因此它的用处其实比黎曼积分更大，像调和分析和泛函分析等高一级的分析学分支学科都需要建立在勒贝格积分理论的基础之上。关于实变函数论的用处，在《数学》第三卷的后面讲泛函分析的第十九章中这样说道：勒贝格积分“对于泛函分析是如此必要，正好象严格的实数理论之对于微积分基础。”
但是另一方面，在实变函数论课程中所进行的推理与证明又比数学分析中的推理更加精密和艰深，因此学生学习与理解起来也更加困难，这就需要让学生多了解一些关于实变函数论的来龙去脉，以增加学习的动力。实变函数论这门课程的主要内容有：集合的运算、欧氏空间中的开集和闭集、可测集类、可测函数及其性质、勒贝格积分。《数学》第三卷的第十五章专门讲实变函数论。这一章虽然写得不是很长，但由于采用了历史上关于测度论的一些早期的朴素思想来进行讲解，因而能够比较清楚地表达了实变函数论这门课程的精神实质和最基本的想法。作者首先讲了集合和运算和实数的基本性质，然后开始介绍开集与闭集的测度的概念，在这里，作者采用了一种比通常教科书上的定义大为简化了的测度定义（也是一种早期的测度定义），虽然现在课本上的测度定义更为一般，但是这个简化了的测度定义却能够使读者更加容易地理解可测集与可测函数这两个最基本概念的内在含义。接下来，作者运用了一个数钱币的比喻来揭示勒贝格积分的基本思想，即如果有大量的不同价值的钱币，要求计算这些钱币的总价值是多少，那么就有两种不同的计算方法。第一种方法是依次累加，第二种方法是先将同样价值的钱币放在一堆，再用每一堆钱币的个数乘以这堆钱币的单价，然后将所得到的这些数值加起来即可。第一种方法对应了黎曼积分的过程，而第二种方法则对应了勒贝格积分的过程。这个非常简单的比喻可以进一步发展成用两种图形划分的方法来计算函数在闭区间上的曲边梯形：这里的上面那个图形显示的是学生熟悉的黎曼积分的想法，而下面的这个图形就显示了勒贝格积分的想法，即把值域分成许多小区间，从而就能够将分为许多两两不相交的可测集，现在每个可测集上函数值都相差很少，于是在每个可测集上用任一点的函数值乘以可测集的“长度”（即测度），然后求和，再用和式的极限作为勒贝格积分的值。当然在一般的实变函数论课本上，勒贝格积分的正式定义是比较抽象的（用上积分与下积分相等来定义），而在《数学》这本书中，作者用了一个比较简单的等价定义，即先把被积函数写成特征函数的线性组合，再将勒贝格积分定义为这些特征函数的勒贝格积分的线性组合。在这一章的最后，作者还给出了实变函数论在傅里叶分析（或调和分析）中的一个很简单的应用：联系函数的傅里叶级数的各个系数的帕塞瓦尔(Parseval)等式成立的充要条件是是可测函数，并且 是勒贝格可积的函数。试想，如果没有实变函数论，就无法对满足帕塞瓦尔等式的函数类作出准确的描述。抽象代数是在20世纪初期形成的一门数学分支学科，它研究的对象是某些专门的集合，在这些集合上定义了满足若干条件或公理的代数运算，这种集合也称为代数系统。在目前的大学抽象代数课程里，主要讲授三种代数系统（群、环、域）的初步理论。在历史上，群论和域论的最基本概念起源于代数方程的求解理论。具体来说，群论和域论起源于法国数学家伽罗瓦在研究一元代数方程的解是否有根式表示问题时所作出的重要发现，他发现可以将复杂的扩域问题转化为比较简单的具有对称性的置换群结构问题，从而彻底解决了5次以上的代数方程何时有根式解的经典问题。与此同时，人们在研究数论（特别是证明费马大定理）的过程中，以戴德金为代表的一些数学家逐步形成了环的理想理论。到了20世纪的20年代末，数学家范德瓦尔登根据数学家诺特和E. Artin的讲稿，写出了经典名著《代数学》，它系统总结了抽象代数的基本理论，对现代数学的发展影响极大。然而遗憾的是，在范德瓦尔登的《代数学》中，并没有给出抽象代数理论的形成过程，很多后来写的抽象代数的教科书基本上延续了这种只讲理论，不讲来龙去脉的做法，这给学生学习和理解抽象代数造成了不小的困难。《数学》的第三卷第二十章专门讲解了抽象代数这门课程中，一些基本理论的思想方法和它们的应用。作者首先认为群论在抽象代数的理论中起着特别突出的作用，可以用群论来很好地说明抽象代数的思想和方法。作者详细介绍了置换群和几何变换群，用它们来解释关于群的一些基本概念，特别是详细讲解了在美术装饰和结晶体中用得比较多的无限离散群。然后作者简要介绍了代数方程的伽罗瓦群的基本含义。接下来，作者开始讲解群论的一些基本概念，包括群的一般定义、群的同构、不变子群和商群，还仔细解释和证明了同态基本定理。作者用比较多的篇幅对群论作了进一步的介绍。作者介绍了李群和拓扑群的概念、拓扑学中的基本群和扭结群的概念。然后再着重讲解了有着许多应用的群表示与特征标的基本概念，与一般抽象代数课本中讲群表示论的方法不同，《数学》的作者运用了早期比较容易理解的群的矩阵表示来讲解群表示论的基本概念，甚至还可以讲到有限群的不可约表示的阶数与群的阶数之间的关系等式。接下来，作者介绍了在抽象代数的发展历史上具有重要意义的超复数，它是复数的极大推广，其中就包括了著名的四元数。然后作者讲解了结合代数，其中也包含了常用的矩阵代数。对于李代数的介绍，作者用矩阵的指数函数清楚地解释了李代数与李群的对应关系，并且详细证明了三维空间全体向量的集合对于向量的外积乘法所构成的李代数，与空间中围绕不动点的旋转群相对应，由此就可以让读者看到几何概念与空间的旋转群之间的紧密联系。作者在解释环的理想理论的意义时，介绍了在历史上很有名的在证明费马大定理时，人们对于唯一分解性质和理想数的重要发现，并且还介绍了理想理论另一个发源地——初等代数几何：在理想与代数簇之间具有一些最基本的天然联系，例如不可约簇所对应的理想一定是素理想等。作者在这一章的最后，简要介绍了格的基本概念及性质。拓扑学主要研究在连续变形下关于几何形状的不变性质。它曾被数学家J. Dieudonné 誉为是现代数学中的“女王”。这主要是因为拓扑学的思想方法已经渗透到了现代数学的各个分支学科中，无论是数论、抽象代数和代数几何，还是微分方程与几何分析，都运用了很多拓扑学的理论与方法。然而，在大学拓扑学教材的编写中，往往会受到“一般拓扑-单纯同调-奇异同调-同伦”这一理论框架的束缚，较少解释拓扑学的思想方法来源于何处，其作用又是什么。实际上，拓扑学的基本思想来源于复变函数论（尤其是黎曼面）和经典代数几何，而在现代数学和科学技术中，之所以要大量使用拓扑学方法的主要原因是由于研究高维抽象几何空间整体问题的需要，由此我们也可以将拓扑学看成是更抽象的现代意义上的几何学。目前大学拓扑学课程的主要内容有：拓扑空间的基本概念、紧致性和连通性、商空间与闭曲面、同伦与基本群、复叠空间、单纯同调、映射度与不动点。《数学》第三卷的第十八章专门讲拓扑学。这一章按照拓扑学发展的历史途径，先解释了一些常用曲面的拓扑性质，如定向与亏格等。然后作者介绍了早期的组合剖分方法，从中导出了组合拓扑学的基本概念：边缘、闭链和同调等，特别还讲到了曲面欧拉定理的推广——欧拉-庞加莱公式。接下来，作者用拓扑学的观点讲解了常微分方程的奇点和定性理论，以及流形上连续切向量场的奇点定理。该章虽然没有详细展开对于一般拓扑、同伦、同调群等拓扑学基础理论的介绍，但还是简单提及了相关的一些历史发展状况。早期泛函分析的一个主要思想来源是经典的变分法。在变分法中，“泛函”就是函数的函数。变分法的主要问题是：在一个函数集合中，求出使泛函达到极值的函数。此时，函数 已经不是作为个别的对象来研究，而是作为函数集合（或函数空间）的一个“点”，这样就与几何学联系了起来，从而可以对整个一类函数的性质加以研究。泛函分析的另一个思想来源是积分方程，数学家们从积分方程的理论中发展出了希尔伯特空间和线性算子的理论。希尔伯特空间是一种特殊的内积空间，它具有许多优良的性质，这使得它被应用到不少数学分支学科和物理学中。为了使积分方程理论普遍化，数学家巴拿赫进一步建立了比希尔伯特空间范围更广的巴拿赫空间（即完备赋范空间）的理论，巴拿赫空间包含了许多具体的函数空间，例如，闭区间上全体 次幂勒贝格可积函数的集合就可以构成一个巴拿赫空间（似乎整个实变函数论主要就是为了证明这一重要结论而作准备）。泛函分析理论为各个分析学的分支学科的迅速发展奠定了坚实的理论基础，这些学科就包括了偏微分方程、调和分析、数值分析、数学物理等。目前大学水平的泛函分析课程主要包含的内容有：距离空间和赋范空间、有界线性算子与连续线性泛函、希尔伯特空间几何学初步、有界线性算子的谱。《数学》的第三卷第十九章专门介绍了泛函分析这门课程中的一些基本想法。作者在这一章的第1节主要回顾了内积空间（即线性代数中的“欧氏空间”）的概念及其基本性质。第2节与第3节主要介绍希尔伯特空间的概念。如果在一个内积空间中，由其内积导致的范数用来作为距离，而构成的距离空间是完备的话，那么这个内积空间就是希尔伯特空间。作者所给出的希尔伯特空间的主要例子是勒贝格平方可积函数空间 ，这种无限维的函数空间很像维的几何空间，它不仅具有由无穷个函数组成的标准正交基，而且可以像傅里叶级数展开那样，将此空间中的任何一个函数展开成这个标准正交基的线性组合。第4节介绍了希尔伯特空间理论的主要思想来源——积分方程。作者先从物理学的角度详细给出了齐次积分方程：（其中成立）的产生过程，然后指出：这个方程对于的一系列值（书中称为“固有值”），存在各自对应的该积分方程的非零解（书中称为“固有函数”），这些函数两两互相正交，从而可以用来构造希尔伯特空间的一个标准正交基。在第5节中，作者主要介绍线性算子的概念和理论是怎样从积分方程的理论中发展出来的。由前面的（1）式中的记号，积分方程（2）可以写成为，或者写成因此，就是线性变换的特征值。这样，就可以运用线性代数中关于特征值问题的理论与方法。具体来说，由于有 ，所以算子是一个对称变换，这类算子在泛函分析中一般被称为自共轭算子（或自伴算子），它具有和线性代数中的主轴定理相类似的重要性质，这种性质与泛函分析中所说的“谱分解”有关。作者在书中着重强调了自共轭算子在物理学（特别是量子力学）中所起的关键作用。虽然以上的十一门课程已经包含了数学系学生应该掌握的大部分近代数学的知识，但由于要保持各个课程内容的系统性，导致了有不少近代数学知识被排除在大学数学课程体系之外。这个时候，就很需要让学生阅读像《数学》这样的数学高级科普读物，来进行拾遗补缺。《数学》中所讲述的以下这些知识基本上没有被包含在通常的大学数学课程体系之内：1．代数方程理论
古典的代数方程理论在过去是数学系的一门课程，自从上世纪60年代抽象代数进入大学数学系的课程后，它就不再讲了。然而代数方程理论属于学生应该知道的近代数学知识内容，否则就无法更好地理解抽象代数、计算方法等课程的内容。在《数学》第一卷的第四章，作者介绍了代数方程理论中一些最基本的内容，包括三、四次代数方程解的公式、拉格朗日预解式、伽罗瓦理论的基本思想、代数基本定理、笛卡儿符号法则、斯图姆定理、根的近似计算法等。2．仿射几何与射影几何
《数学》第一卷的第三章讲解析几何，其中包括了平面解析几何、空间解析几何、仿射几何、射影几何等丰富的内容。平面解析几何早已经在上世纪60年代下放至中学，而空间解析几何则有与线性代数（或多元微积分）课程合并起来的趋势。虽然在师范院校数学系的一门“高等几何”课程中要讲仿射几何与射影几何，但是在其他大学的数学系一般都不讲仿射几何与射影几何。其实这两门经典的几何学与现代数学中的一些分支学科具有内在的联系，例如代数几何中讲射影代数簇的时候，就必须要用到射影几何与齐次坐标。《数学》的作者在讲解射影几何与射影对应映射的时候，用了一个射影几何方法在航空射影中实际应用的例子，很好地说明了中心透视对应唯一性定理的基本含义。3．变分法
前面已经说过变分法的主要目标是求出泛函的极值。在《数学》第二卷的第八章中，作者运用经典的变分方法，推导了两个用来确定极值函数的偏微分方程（即欧拉方程和调和方程），由此显示了变分法的基本思想。4．数论
大学的数论课程一般不作为基础课程，数论课程又可以分为初等数论、代数数论和解析数论这三门课程。《数学》第二卷的第十章介绍了经典的解析数论中的一些基本想法，内容主要包括关于zeta函数的欧拉恒等式、素数分布定理、黎曼猜想、三角和方法、切比雪夫方法、哥德巴赫猜想等。5．函数逼近论
在《数学》第二卷的第十二章中，作者简单介绍了函数逼近论的一些最基本的思想，这些思想被用在了计算方法这门课程中。这章的内容包括了经典的插值多项式、定积分的逼近、切比雪夫多项式、魏尔斯特拉斯逼近定理、傅里叶级数与平均平方意义下的逼近。6．计算机的数学原理
在上世纪50年代，计算机还是一个新生事物。《数学》第二卷的第十三、十四章详细解释了计算机的工作原理和相关的数学原理，作为身处于信息时代的数学系的学生，有义务通晓这些很基本的数学原理。作者首先介绍了近似计算中的一些基本概念，如收敛性、误差估计和稳定性等。然后作者简要说明了早期的台式计算机和分析计算机的工作原理。接下来，作者重点讲解了电子计算机的工作原理，特别是以计算一个多项式的值和解一个简单的常微分方程为例子，仔细解释了如何将数学计算的程序转化为机器的工作指令，从而来完成计算的。7．非欧几何
在《数学》第三卷的第十七章中，作者比较详细地介绍了双曲非欧几何与其他几何学的一些基本思想。双曲非欧几何是在证明欧几里得《几何原本》中著名的第五公设的过程中慢慢形成的。作者在第一节叙述了证明第五公设的早期历史，在第二、三节讲了双曲非欧几何中的一些基本概念，在第四节介绍了双曲非欧几何的模型。在接下来的几节里，作者分别讲了几何公理、爱尔兰根纲领、高维空间及其几何想象的方法、拓扑空间的思想、黎曼几何的基本概念等内容。（一）希望加强大学数学科普读物的出版力度
笔者的一个大学数学系同学曾经写文章回忆他在大学的学习生活，其中说到数学家谷超豪先生在当时建议他读《数学》这三卷书，谷先生说，这是他在苏联留学时经常看的书，是“很经典的著作”。从国内其他一些老一辈数学家写的文章中，也可以看到《数学》对他们的成长所产生的显著影响。由于一些比较复杂的原因，最近三十年来，针对每年数万名新入学的数学系学生，国内大概只出版了很少的十几种新的大学数学课程的科普读物（不包括学习辅导书），这远不能适应广大数学系师生们教与学的需要。只靠一本教材和一本学习辅导书，也许可以通过考试，但是却不太可能让学生真正理解和学会大学数学。这样看来，这三卷写于六十多年前的《数学》就显得比较珍贵了。但是另一方面，因为20世纪现代数学发展的速度实在太快了，大学数学系的教学也在发生着很大的变化。现在来看《数学》中的部分内容，由于写作年代较早，不能不说感觉确实有些陈旧，此外还有不少大学数学中最基本的内容，《数学》没有涉及。所以建议国家要加强大学数学课程的科普读物的出版力度，多出版像《数学》这样的新的高级科普读物。看戏剧和读小说时，不可以提前剧透有关的剧情或提前公布情节，否则就索然无味。但是在讲大学数学课或写大学数学书时，应该完全相反，在前面开始讲或写的时候，要多“剧透”后面整个数学理论的基本思想。
这是因为对于初学者来说，基本上所有的大学数学课程都是难以理解的。学生往往在学完了整个课程后，才开始了解前面为什么要有这么多的概念和定理。如果一开始学习一门大学数学课程的时候，学生就能够听到（或读到）像《数学》这样的对相关课程基本思想的介绍，从而可以了解数学知识的来龙去脉，那么他们学习起来自然就会感觉有意思得多。此外笔者认为，像《数学》的作者们这样对于大学数学所作的从历史角度深入浅出的解说，是一种值得称赞的本领，很值得我们大学数学教师们学习和掌握。参考文献
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