物理知识系列讲座（一）——物理学对物质世界的基本认识

    4——物质世界的非线性效应

   混沌、自组织和孤子现象受物质世界非线性规律所支配。什么是非线性呢？数学上，我们把函数对自变量的比例依赖关系称为线性关系如y=ax+b。如果y与x不呈比例关系，如y=ax²+bx+c（抛物线）或其它复杂的函数关系，则y与x的关系是非线性的。线性关系只有一种，非线性关系则千变万化，无法穷举。另外反映物质运动与变化的微分方程也有线性和非线性之分。线性方程与非线性方程的本质差别在于：线性方程的任何两个解可以加在一起构成一个新解即服从线性叠加原理，而非线性方程的两个解（如果有解的话）不能线性相加在一起构成另一个新解。自然界一些非线性因素将导致一些特殊但却普遍存在的变化、运动和现象，如自组织、混沌和孤子现象。本节将对此作简要介绍。

一、 物质世界的自组织现象 耗散结构

   热力学第二定律指出，一切自然过程都是不可逆的。不可逆过程的后果是使一部分能量不能再用于做有用功，这种现象叫做能量的耗散。从微观上理解，不可逆过程意味着孤立系统中的自发过程将使系统的分子运动向无序性增加的方向进行，最后达到稳定的平衡状态，初始的某种有序或差异（非平衡态）将逐渐消失过渡到最终无序的状态（平衡态）。如果将此结论推广到宇宙，宇宙最终将走向除了只有分子热运动外而没有任何宏观差异和宏观运动的死亡状态。一种观点认为宇宙是无限的，不是孤立系统，孤立系统的演变规律不能推广到宇宙。事实上，我们所看到的现实宇宙充满了由无序向有序的发展与变化，展现在人们面前的是一幅千差万别、生机勃勃的景象。

 各种生物都是由各种细胞按精确的规律组成的高度有序的机构。如人的大脑就是由150亿个神经细胞组成的极其精密有序的装置，树叶、花朵、动物皮毛等呈现出漂亮的图案，这些都是生物体的空间有序的例子。生物体的时间有序特征也是十分明显的，表现为随时间作周期性变化的振荡行为或者生物钟有节奏的变化。例如，生物体有规律的新陈代谢、“日出而作，日落而息”，候鸟的冬去春来，对虾每年按季节在渤海沿岸巡游，中华鱘秋季到长江上游产卵、幼鱼返回长江下游生活。另外，生物体的生长和进化则更明显地体现从无序到有序的发展。生物体的生长发育都是从少数细胞发展成为各种有序的器官，而细胞则是由许多无序的原子组成的。地球上的各种各样的物种都是经过漫长的年代由简单到复杂、由低级到高级或者说由较为有序向更加有序、精确有序发展进化而形成的。在无生命世界中，也常常可见到许多自发形成的有序结构。如，云彩可排列成带状或鱼鳞状，高空中的水气可凝结成六角形雪花，皮蛋上出现漂亮的松花。实验中也能见到有序结构的自发形成。如，在一定条件下的某些化学反应，会出现有规律的沉淀区，有的反应介质会出现颜色的周期性变化，称为B-Z反应。贝纳特于1900年发现，在盘中加热一薄层液体时，当温度梯度超过某临界值时，原来静止的液体中会出现许多像蜂窝的六角形对流格子，此时液体的内部运动转向宏观的对流有序化。激光现象是一种典型的从无序到有序的过程，当激光器的输入功率小于某一临界值时，其发光是混乱无序的，像普通灯泡一样。当输入功率大于临界值时，各原子似乎“集体组织”起来，朝一个方向发出频率、相位都相同且亮度极高的光波。

 以上这些例子说明，无论是有生命还是无生命世界，都有一种系统的内部由无序变为有序使其中大量分子按一定的规律运动的现象，称之为自组织现象。生命过程实际上是生物体持续进行的自组织过程，这一过程是系统内不平衡的表现。自组织过程使系统从简单无序发展到复杂有序，系统从较高的对称性自发过渡到相对较低的对称性，实际上是对称性自发破缺的表现。值得注意的是，发生自组织现象的系统都不是孤立系统（与外界环境无任何联系的系统），而是封闭系统（与外界只有能量交换的系统）或开放系统（与外界既有能量交换也有物质交换的系统）。

 对于非孤立系统，熵的变化由两部分构成，一是系统内部不可逆因素引起的熵变（叫熵产生，用d_iS表示），二是系统与外界交换能量或物质引起的熵变（叫熵流，用d_eS表示），总熵变dS=d_iS+d_eS。系统的熵产生总有d_iS≥0。对孤立系统有d_eS=0 ，所以dS≥0。对于非孤立系统，熵流d_eS有不同的符号，如果d_eS＜0且︱d_eS︱＞d_iS,就会有dS＜0，表示系统的熵减少，系统将进入更加有序的状态。因此，对于封闭或开放系统存在着由无序转化到有序的可能。

 为了找出从无序到有序的转化规律，需要研究系统在外界影响下偏离平衡的行为。如果外界影响不大，系统对平衡态的偏离很小，外界影响与系统不可逆响应呈线性关系，这样的状态叫做线性非平衡态。研究表明，要产生自组织现象，系统必须处于远离平衡的状态。此时，外界的影响剧烈，以致于在系统内部引起非线性响应。一般来说，远离平衡的状态不能再用熵来描述，其过程发展方向已不能用纯粹的热力学方法来确定，必须考虑系统的动力学行为。当外界的影响和系统偏离平衡的程度达到某临界值时（如激光器收入功率超过某定值），一个很小的扰动就可引起系统的突变，系统将跃迁到两个稳定的分支方向上（图1-4-1a），这两个分支方向上的每一个点可能对应某种时空有序状态。由于这种有序状态是在不可逆耗散响应足够强烈的情况下发生的，因而称这种状态叫耗散结构。耗散结构对应于某种时空有序，从而破坏了原有的对称性即出现对称性破缺。随着系统对平衡态的继续远离，原来的两个耗散结构分支方向又将出现更多的越来越多的新的分支方向（图1-4-1b  ），出现很多不同的可能的耗散结构，系统处于那种结构完全是随机的，体系的瞬时状态变得不可预测，系统又会进入一种无序态。这种无序态（宏观的）与热力学无序态（分子级别的）有本质的区别，称之为混沌态（后面介绍混沌概念）。生命是存在于上述两种无序态中的一种有序，生命系统处于远离平衡的状态但又不能过于远离，否则混沌无序将完全破坏生物的有序。耗散结构的出现有赖于涨落。涨落是系统的状态在局部上与宏观平均态的暂时偏离，代表着一种结构和组织的“胚芽”。涨落的出现是偶然的，只有适应系统动力学性质的那些涨落才能得到系统中绝大部分分子的响应而波及整个系统，将系统推进到一种宏观有序状态—耗散结构。

图 1-4-1 耗散结构  a 分支现象   b高级分支现象

 自组织与耗散结构理论在物理学、宇宙学、气象学、生物与生命科学、环境与生态科学、经济与管理科学、社会学等领域已有广泛的应用。

二、混沌现象

  1.混沌的概念

  在牛顿力学中，只要物体的受力和初始条件已知，物体任意时刻的运动状态就完全确定了，并且可以预测。这种认识称作决定论的可预测性。根据牛顿定律，可以求出物体的严格的数学运动方程，从而使运动完全可以预测。牛顿力学这种决定论的可预测性，曾在天体运行观测（如哈雷彗星在预定的时间回归，海王星在预言的方位上被发现等）、宇宙探测器的发射、轨道设计和其它技术中得到了成功应用，从而使人们对自然现象的决定论可预测性深信不疑。然而，这种传统的思想信念在20世纪60年代遭遇了严重的挑战。原来牛顿力学显示的决定论的可预测性只在那些受力与位置及速度有线性关系的物体才具有，这样的系统叫线性系统。而对于受力较复杂的非线性系统，情况则大不相同。

  下面以弹簧振子的强迫振动为例来说明决定论的不可预测性。图1-4-2 是一个与框架相连的弹簧振子，框架上下振动时，将迫使振子上下振动。在理想情形下，弹力符合胡克定律、空气阻力与速度正比，振子是线性系统，其运动规律可由牛顿定律求出。它的振动曲线（图1-4-3）在开始有些起伏，但很快达到振幅、频率都稳定的状态，这种运动是完全可以预测的。但如果在振子平衡位置放一质量较大的砧块（图1-4-4）,使振子撞击后以同样速率反跳，振子受的撞击力不再与位移成正比，因而系统是非线性的。此时，系统的运动状态虽然受牛顿决定论的支配，但数学上已不能给出一个确定的解析解，但可以用实验描绘其振动曲线。当框架振动频率为某些值时，振子的振动最后能达到稳定状态（图1-4-5），但框架振动频率为其它一些值时，振子的振动则变得杂乱而无法预测了。这时的振子就进入了随机混乱运动状态即混沌状态（图1-4-6）。而且还会发现，如果初始条件（如振子初位置）略有不同，振动情况将明显地不同。图1-4-7是5次振子初位置有微小差别时的混沌振动曲线。最初几次反跳振动基本一样，但随着时间的推移，它们的差别越来越大。这说明混沌运动具有不可预测性和对初值的极端敏感性。

  单体运动和两体运动（如日、地或月、地运动）一般可得到精确的解析解，不会产生混沌现象。庞家莱曾研究过三个天体的运动，一直得不到解析解。目前用计算机可得到数值解。两个质量M₁=M₂的大天体绕两者的质心做圆周运动，质量M₃的小天体（比M₁小得多）相对于质心运动，小天体的运动轨迹如图8-4-8所示。我们不可能预测M₃何时绕M₁或M₂运动，也不能确定M₃何时由M₁附近转向M₂附近。这表明M₃的运动呈现混沌态。1994年7月，苏梅克-列维9号彗星与木星相撞的罕见奇观很可能是混沌运动的一种表现。在太阳系内火星与木星之间分布有一个小行星带，它们都围绕太阳运行。由于它们离木星较近，而木星是最大的行星，所以木星对它们的引力不能忽略，木星的影响可能导致小行星进入混沌运动，后果是小行星可能从原轨道中甩出。有人提出，6500万年前，曾有一颗小行星因混沌运动脱离小行星带，高速撞击到地球，产生大量尘埃而引起地球气候大变。地球上大量的植物消失，使得以植物为食的恐龙及其它动物灭绝。

图1-4-2  弹簧振子受迫振动

 图1-4-3 受迫振动的振动曲线

图1-4-4 反跳振子装置

图 1-4-5 反跳振子的稳定振动       

 图1-4-6反跳振子的混沌运动  

 图1-4-7 反跳振子的初值敏感性

图1-4-8 小天体的混沌运动 

   又如单摆，其振动动力学方程是非线性的：                     

  如果摆幅较小（小于5°），则可把sinφ改成φ，上式就变成线性方程（角加速度与角位移φ是比例关系，ω是振动圆频率），

将摆球偏离平衡位置释放，单摆运动方程为，α为初相。在小幅摆动时，可以证明单摆运动是可重复的、可预测的。然而，每次实验的初值都不可能完全相同（只能在误差范围内相同），而各次运动都依赖其初值，那么各次运动之间也并非完全重复，只不过测量精度有限，不被察觉罢了。如果摆幅较大（达到一定程度），且考虑空气阻尼，再对摆施加一个周期性驱动力（例如将摆球用铁磁材料制成，放到交变外磁场中），系统的动力学方程则是非线性的。此时，虽然初值差别极小（尽管在精度范围内无法区分），但这种差别在一段时间后将放大出来，明显地依赖于初值，实验所观察的各次运动便不可重复、不可预测，有随机性，这就是混沌运动。

   现在我们可以给混沌下一个定义：混沌是决定论系统所表现出来的随机行为的总称（通俗地说，指杂乱无章的混乱状态，英文chaos）。它的根源在于非线性相互作用。所谓决定论系统是表述该系统的数学模型不包含任何随机因素的完全确定的系统。例如地球在太阳的引力作用下的公转，动力学方程是完全确定的。对初值的敏感性是混沌运动的最基本的特性，初值的微小差别（初值是不能准确给定的，因为需要给出无穷多位的数值），导致非线性系统的运动的差别随时间的推移越来越大。在任何实际的初值下，我们对混沌运动的演变的可预测性会迅速降低，以致于在稍长时间后的运动变为不可预测。这样，决定论和可预测性的联系就被完全切断。混沌运动虽然是决定论的，但同时又是不可预测的，所以，混沌就是决定论的混乱。

   对牛顿力学已成功地处理过的线性系统，不同初值的诸运动之间的差别随着时间的扩大是极为缓慢的，表现出的是对初值微小差别的不敏感性，因而实际上是可以预测的。但如果要预测非常遥远的将来，也是不可能的。在自然界中，决定与混乱（或随机）并存而且有紧密的联系。牛顿力学长期以来，只是对理想世界作了理想的描述，向人们灌输的是力学现象所存在的决定论的可预测的思想。混沌现象的发现，使人们认识到这样的理想世界只是自然界中实际的力学系统的很小一部分。牛顿力学反映了低速宏观领域物体的运动规律，对高速物体和微观粒子的运动需要相对论和量子力学，然而即使是低速宏观物体的运动，牛顿力学也未必能解决所有的问题。混沌概念进入现代科学语汇是在1975年，数学家李天岩和约克发表了一篇题为《周期3意味着混沌》的论文。其实在此之前就有很多科学家研究了混沌现象。早在19世纪末，法国著名的数学家、物理学家庞加莱就指出，我们只能近似地知道大自然的规律，也只能近似地预测其未来，能做到这一点就应当很满足了，因为有时候连这一点也难做到。常常发生这样的情况，开始时差别很小，但后来差别却越来越大，竟面目全非了，于是预测成为不可能的事。这就是庞加莱的猜想。虽然他当时没有使用混沌这个词，但却把混沌的基本特征刻画得十分清楚。应该说，庞加莱是了解混沌现象的第一人。

   2.混沌的主要特性

  1961年冬天，美国气象学家罗伦兹(Edward Lorenz)在一个大气热对流对天气影响的简化模型中发现了对初值十分敏感的非周期性运动。一天，他在计算机上已算得一个解，但他还想知道此解随时间变化的长期行为。为了省时，他不再从头算起，而是把前次计算机打印出来的中间数据作为初始值输入，然后走出工作室去喝咖啡。回来后看到的计算结果却令他大吃一惊！原本指望计算机会重复给出上次计算的后半段结果，意想不到的是这次计算的结果只有一小段与上次计算结果是重复的，随后出现越来越大的偏离，以致面目全非(图1-4-9)。他很快意识到，并非计算机出了故障，问题可能出在输入的初值数据上。他的计算机储存的是六位数0.506127，打印出来的只有三位数0.506，喝咖啡前输入的正是0.506。原以为这千分之一的误差无关紧要，但结果却因为初值输入的微小差别引起输出结果的大相径庭。也就是说，两次不同的差别很小的初值输入，结果一个是晴空万里，一个是倾盆大雨。凭数学的直观，他感到这里出现了违背经典概念的新现象，意义可能是重大的。他的结论是，长期的天气预报是不可能的。罗伦兹将这种对初值的敏感性做了一个形象的比喻，取名“蝴蝶效应”，意思是说：巴西的一只蝴蝶，今天扇动一下翅膀，使大气的状态产生微小的变化，过一段时间可能会引起德克萨斯的一场龙卷风。

图 1-4-9  罗伦兹气候演变曲线

 罗伦玆不仅捕作到了在他的气象模型中的貌似随机的对初值细微变化的敏感性，而且还看到模型解中有一定的几何结构。他把注意力转向了非线性系统，简化了描述对流的方程组，只剩下三个无量纲变量（x、y、z），得到著名的罗伦玆方程组，该方程组含有非线性项，须用计算机求解。把x、y、z作为三维坐标，构成三维空间。不管初始条件如何，在这个三维空间中，方程组的解所对应的曲线总是呈现出一种奇特的形状（图1-4-10），就像蝴蝶的两只翅膀，它由两个相连的环套或螺线组成，轨线由外向内绕到一个不动点附近，又突然跳到另外一边由外向内绕到另一个不动点附近，如此随机地反复，我们也无法预料它将在何时从一边跳到另一边，而且轨线不会冒出环套边界，也不会自相重复，结构很复杂。因而既显示出无序，又意味着一种新的有序（总体形状有一定特征）。由于这种轨线的集合，形体奇异且向着不动点靠拢，故称为奇异吸引子或混沌吸引子。奇异吸引子是混沌的另一特征。所有的混沌现象，虽然轨线集合的总体形状有别，但都被吸引在某个区域附近。                     

图 1-4-10罗伦兹吸引子 

 研究表明，非线性系统并非在任意条件下都做混沌运动，通常存在一些控制参量。当参量达到某一临界值时，系统才逐渐过渡到混沌态。如阻尼摆在振幅较大时是非线性的，但必须要有周期性驱动力，而且驱动力的幅度逐渐加大到一定数值才会出现混沌现象。目前研究得较透彻的进入混沌的道路有两大类，即非线性动力学系统从倍周期分支走向混沌、远离平衡的非线性热力学系统由阵发性混沌走向完全混沌。对于非线性动力学系统，当控制参量值较小时，呈现的是单一频率或周期的有序的周期性运动，参量达到阈值时，周期性运动的频率或周期突变为υ₀/n或nΤ₀(n为整数)即出现分频（或周期倍化）现象，称之为倍周期分支，再由分支逐渐进入混沌态。例如，一个非线性电路，当输入电压较低时，输出电压与输入电压频率相同。当输入电压逐渐加大时，输出电压将经过二分频（具有υ₀和υ₀/2两个频率）、四分频、八分频、十六分频……最后进入混沌。周期性驱动力作用下的阻尼摆在驱动幅度逐渐加大时，也出现倍周期分支现象，最后演化进入混沌。诸如此类的演化进入混沌的例子很多。对于远离平衡的非线性热力学系统，当控制参量变化到某一临界值后，系统会出现分支现象，最后发展成为混沌状态（前面在自组织与耗散结构中已介绍过）。此外还有一些进入混沌的道路，此处不再介绍。若将分支图放大，可以看到在一定程度上局部的形态是整体形态的再现或缩影，在越来越小的尺度上重复出现（图 1-4-1），也就是呈现无穷崁套的自相似结构即分形结构。混沌的奇异吸引子也具有典型的分形结构（图1-4-10），其轨线在有限区域内具有无限的长度，且永不重叠，永不相交，从而不得不是分形的。混沌，貌似无序则有序，但反映的是另一种序，看来混乱一片，实为章法井然，这种序或章法就是分形。

  综上所述，混沌有如下特性：（1）系统的动力学以确定论为基础，且含有非线性项，非线性作用达到某临界值时，就出现混沌随机行为。这种确定论系统的内在随机行为又有别于概率论性的随机行为；（2）系统单个的运动轨道极端敏感地依赖于初始条件，即具有蝴蝶效应；（3）运动呈现出奇异吸引子；（4）具有无穷崁套的自相似结构。

  非线性系统在一定条件下均有可能产生混沌现象，天体运动、气候变化、流体中的湍流、生物进化、生命过程、人体免疫功能、医学中各种疾病都涉及混沌机理，因此混沌理论的研究有着广泛的应用前景。混沌学理论已渗透到物理学、医学、化学、生物学、生态学、天体物理学、气象学、经济学、社会学等各个领域。  

三 孤子现象

  孤子现象也是一种非线性效应。有一类特殊的非线性系统，可以得到被称为孤立波的解。19世纪英国的罗素在苏格兰运河上观察到，当一艘船在运河上前进时，在船头会形成凸起的波包（图1-4-11 ），船突然停下后，该波包仍然以原来的形状和速度继续前进。罗素沿运河骑马跟踪这个水波，发现它前进了数公里后在运河拐角处才逐渐消失。19世纪末，有人从流体力学出发，建立了称为KdV浅水波运动方程从而得到孤波解。这种波在传播过程中保持形状和速度不变，且两列波相互作用后能相互贯穿但互不破坏，就像粒子间的弹性碰撞一样（图1-4-12）。碰后保持原来形状和速度不变的波被称为孤立波，也叫做孤子。

图1-4-11     KdV波包

图1-4-12  两波包碰撞后不变

  目前，人们在许多领域都发现了具有孤子解的物理体系。例如在核聚变的等离子体中，在大脑神经脉冲传播过程中，在非线性光学中等等，都有孤子现象。特别引人注目的应用是光孤子通讯。由于孤子在传播过程中能保持形状和速度不变，也就是不衰减，又由于光孤子碰撞后会像粒子一样各自分开后互不改变，因此光孤子脉冲间隔可以做得比普通光纤中传输的脉冲窄得多。目前国际上，能使在单位时间内传输的光孤子脉冲信号约为普通光纤通讯的10万倍，即一根光孤子非线性光缆相当于10万根传统的线性通讯光缆。      

   总之，从本质上讲，物理现象都是非线性的，而线性规律只不过是物质世界的近似描述。非线性问题已不是个别现象，它已经渗透到物理学的各个领域及其它学科领域。